Преобразования Лоренца

метки: Преобразование, Лоренц, Следствие, Система, Координата, Скорость, Движение, Минковский

в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x ,y ,z ,t ) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца без сдвигов начала отсчёта образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца .

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени).

В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

• Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближенно) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под c следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу, например скорость звука).

  Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике).

1. Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Если ИСО K ‘ движется относительно ИСО K с постоянной скоростью V вдоль оси x , а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид:

Конвенция реферат по физике

... потоков возникает естественное преобразование ложа океанов и перемещение несущих континентов. Как происходит конвекция? Физика процесса основывается на ... между составляющими частицами физического тела. Однако и тот, и другой процесс невозможен без наличия частиц ... работы обыкновенного холодильника. Циркуляция охлажденного газа фреона по трубам холодильной камеры приводит к снижению температуры ...

где c — скорость света, величины со штрихами измерены в системе K ‘ , без штрихов — в K .

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемая иногда бустом (англ. boost ) или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает, по сути, всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими.

• Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие x ‘,y ‘,z ‘,t ‘ через x ,y ,z ,t можно получить просто заменой V на − V (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта | V | одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить V штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованных x и t с нештрихованными. Или решая систему уравнений (1) относительно x ‘,y ‘,z ‘,t ‘ .
• Надо иметь в виду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1 , что действительно делает их вид более изящным.
• Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того, у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

2. Вывод преобразований

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c ), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре — см. ниже).

Соотношение судебной власти и судебной системы в Республике Казахстан

... несовершенство законодательства. По большому счету судебная система есть часть той инфраструктуры, которая, являясь своеобразным генератором всех казахстанских преобразований, была бы способной трансформировать ... обусловленных задачами и функциями, определяемыми единой судебной политикой. Так, каждое из звеньев судебной системы вправе рассматривать только те дела, которые законом отнесены к ...

Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта).

Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований ^[1] (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

3. Разные формы записи преобразований

3.1. Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

,

где — орты, надо разбить на составляющую параллельную скорости и составляющую ей перпендикулярную

.

Тогда преобразования получат вид

,

где — абсолютная величина скорости, — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

Преобразования Петра Великого: проблемы, споры, дискуссии

... …». П. Петровские Реформы глазами В. О. Ключевского Выдающийся русский историк - В. О. Ключевский (1841 - 1911) - в оценке преобразований Петра I проявлял двойственность. С одной стороны, ... первой четверти XVIII века. Приведу несколько высказываний В. О. Ключевского относительно планомерности и естественности преобразований Петра I. «Насколько Петрова реформа была заранее обдумана, планомерна ...

3.2. Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

,

где .

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

где E — единичная матрица 33, — тензорное умножение трехмерных векторов.

Надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1 .

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

4. Свойства преобразований Лоренца

• Можно заметить, что в случае, когда , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. То же самое происходит в случае, когда . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень большой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.
• Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал для любой пары событий (точек пространства-времени) — то есть любой пары точек пространства-времени Минковского:

  

  Убедиться в этом нетрудно, например, проверив явно то, что матрица преобразования Лоренца L ортогональна в смысле метрики Минковского

  

  определяемой таким выражением, то есть . Это проще всего проделать для буста, а для трехмерных вращений это очевидно из определения декартовых координат, кроме того, сдвиги начала отсчёта не меняют разностей координат. Следовательно, это свойство верно и для любых композиций бустов, вращений и сдвигов, что и составляет полную группу Пуанкаре; как только мы узнали, что преобразования координат ортогональны, из этого сразу следует, что формула для расстояния остаётся неизменной при переходе к новой системе координат — по определению ортогональных преобразований.

  11 стр., 5201 слов

  Принципы арбитражно-процессуального права: понятие и система

  ... законами (п. 8, ст. 102 АПК РФ) Изменение состава принципов арбитражного процессуального права является убедительным доказательством современного преобразования всего строя арбитражного процесса как формы отправления правосудия по экономическим и иным ...

• В частности, инвариантность интервала имеет место и для случая s = 0 , а значит — гиперповерхность в пространстве-времени, которая определяется равенством нулю интервала до заданной точки — световой конус — является неподвижной при преобразованиях Лоренца (что является проявлением инвариантности скорости света).

  Внутреность двух полостей конуса соответствует времениподобным — вещественным — интервалам от их точек до вершины, внешняя область — пространственноподобным — чисто мнимым (в принятой в этой статье сигнатуре интервала).

• Другие инвариантные гиперповерхности однородных преобразований Лоренца (аналоги сферы для пространства Минковского) — гиперболоиды: двуполостный гиперболоид для времениподобных интервалов относительно начала координат, и однополостный — для пространственноподобных интервалов.
• Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц c =1) можно представить как:

  

где . В этом легко убедиться, учитывая и проверив выполнение соответствующего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

• Если принять введённые Минковским обозначения , то преобразование Лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось (для случая движения вдоль оси — в плоскости x ₀ x ₁ ).

  Это очевидно, исходя из подстановки в матрицу, приведенную чуть выше — и её небольшого изменения для того, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты — и сравнении её с обычной матрицей вращения.

5. Следствия преобразований Лоренца

5.1. Изменение длины

Пусть в системе отсчета покоится стержень и координаты его начала и конца равны , . Для определения длины стержня в системе фиксируются координаты этих же точек в один и тот же момент времени системы . Пусть — собственная длина стержня в , а — длина стержня в . Тогда из преобразований Лоренца следует:

Основные правовые системы в современном мире

... актуальна в современное время, когда происходит экономическое преобразование Российской Федерации. Общественная, социальная, финансовая жизнь страны не изменится без изменения правовой системы государства, но для того, чтобы понять ...

или

Таким образом, длина движущегося стержня, измеренная «неподвижными» наблюдателями оказывается меньше, чем собственная длина стержня.

5.2. Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. При Δt’ = 0 из преобразований Лоренца следует

Если Δx = x2 − x1 > 0, то и Δt = t2 − t1 > 0. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого (t2 > t1).

Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

Пусть в двух системах отсчёта, вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время. Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S’ (правый рисунок).

5.3. Замедление времени для движущихся тел

6. Связанные определения

Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаково во всех инерциальных системах отсчета (с учетом преобразований Лоренца).

Принято считать, что этим свойством должны обладать все физические законы, и экспериментальных отклонений от него не обнаружено. Однако некоторые теории пока не удаётся построить так, чтобы выполнялась Лоренц-инвариантность.

7. История

Преобразования названы в честь их первооткрывателя — Х. А. Лоренца, который впервые ввел их (вместо преобразований Галилея) в качестве преобразований, связывающих геометрические величины (длины, углы), измеренных в разных инерциальных системах отсчета, чтобы устранить противоречия между электродинамикой и механикой, которые имелись в ньютоновской формулировке, включающей преобразования Галилея, что в конечном итоге привело к успеху при существенной модификации механики.

Сначала было обнаружено, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований (В. Фогтом в 1887 г.).

Это же было повторено Лармором в 1900 г..

В 1892 г. Лоренц ввёл теорию сокращения, предполагающую сокращение длин всех твёрдых тел в направлении движения, количественно совпадающее с тем, что понимается сейчас под лоренцевым сокращением.

Преобразования Лоренца были впервые опубликованы в 1904 г. но в то время их форма была несовершенна. К современному, полностью самосогласованному виду их привёл французский математик А. Пуанкаре. Только в 1905 г. Пуанкаре и затем Эйнштейн в своей теории относительности пришёл к широко популярной впоследствии формально-аксиоматической трактовке этих преобразований. Пуанкаре же ввел термины «преобразования Лоренца» и «группа Лоренца», показал, исходя из эфирной модели, невозможность обнаружить движение относительно абсолютной системы отсчета (системы, в который эфир неподвижен), модифицировав таким образом принцип относительности Галилея. Ему же принадлежит групповой вывод явного вида преобразований Лоренца (с неопределенным c ) без независимого постулата инвариантности скорости света. В 1910 году В.С. Игнатовский первым попытался получить преобразование Лоренца на основе теории групп и без использования постулата о постоянстве скорости света ^[2] .

Система административных наказаний

... административного права 1911 года Елистратов подробно рассматривает административное выдворение и ссылку - наказание, меру принуждения, являвшуюся аналогом современного административного наказания. «Административную ... институционной системой права, которая распределяла административно-правовые институты по трем разделам: субъекты административного права, объекты, формы административной деятельности ...

Примечания

Литература

[Электронный ресурс]//URL: https://pravsob.ru/referat/sledstviya-iz-preobrazovaniy-lorentsa/

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М .: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).

  — ISBN 5-02-014420-7

• Физическая энциклопедия, т.2 — М .:Большая Российская Энциклопедия стр.608 — www.physicum.narod.ru/vol_2/608.pdf и стр.609 — www.physicum.narod.ru/vol_2/609.pdf .
• Фёдоров Ф. И. Группа Лоренца. — М .: Наука, 1979. 384 с.
• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представление группы вращений и группы Лоренца. М., 1958.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Данный реферат составлен на основе .